PROBLEMA 1
O triplo de um número menos a sua terça parte é 16. Qual é o número?
Ora, o triplo é numeral mutiplicativo (três vezes) e 1/3 desse número (terça parte) nos diz que o inteiro é 3/3 (três terços). Logo 9/3 – 1/3 = 8/3 = 16 , se 8/3 desse número é 16 e 1/3 desse número é 2 – portanto o número é 6.
Por álgebra seria:
3x/1 – x/3 = 16/1 = m.m.c =3
Eliminando os denominadores: 9x – x = 48 → 8x = 48 → x = 48/8 → x = 6
PROBLEMA 2
São passados quinze anos desde que eu tinha um sétimo da idade do meu pai. Hoje meu pai tem o dobro da minha idade. Qual é a soma de nossas idades?
Ora, se meu pai tivesse 7 anos (impossível), eu teria 1 ano; se ele tivesse 14 anos (pouco provável), eu teria 2 anos. Contudo, se ele tivesse 21 anos (mais provável), eu teria 3 anos, istoé um sétimo de sua idade.
Deste modo: 21 + 15 = 2 (3 + 15) → 36 = 2 (18) Resposta: Temos 18 + 36 = 54 anos.
Pela álgebra
X = pai
Y = filho
Primeira equação x = 7y
Segunda equação x + 15 = 2 (y + 15)
x + 15 = 2y + 30
x – 2y = 30 – 15
x – 2y = 15
Levando o valor da primeira equação na segunda equação, fica:
7 y – 2 y = 15
5 y = 15
y = 15/5
y = 3
x = 7 y → x = 21
y = x/7 → y = 3
Hoje: x = 21 + 15 = 36
y = 3 + 15 = 18
Resposta: A soma de nossas idades é 36 + 18 = 54 anos.
PROBLEMA 3
OS TRÊS MILAGRES
Um andarilho, passando em frente a uma igreja, exclamou: Oh! meu santo! Se dobrar a quantidade de reais que tenho no bolso, darei R$ 20 para a igreja. E, entre contente e assustado, viu que seus reais haviam dobrado. Ao passar pela segunda igreja, repetiu o pedido e outra vez foi ouvido. Então bem depressa pagou a promessa. Na terceira igreja ao ser atendido pagou e sorriu, mas para sua surpresa ao colocar a mão no bolso o mesmo estava vazio. Quantos reais tinha o andarilho antes dos milagres?
Este é o tipo de problema que deve ser bem analisado antes de partirmos para a sua resolução.
Observação: Vamos usar as três primeiras variáveis em matemática: x, y e z.
Começa-se do final para o princípio, isto é, de z para x:
Passos
❶ Terceiro milagre
2 (z) – 20 = 0
2z = 20 → z = 10
❷ Segundo milagre
2 (y) – 20 = 10
2y = 30
y = 15
❸ Primeiro milagre
2 (x) – 20 = 15
2x = 35 → x = 17,5
Resposta: Tinha R$ 17,50.
PROBLEMA 4
Em um estacionamento entre carros e motos existem 104 rodas e 34 veículos. Quantos veículos há de cada tipo?
Resolução: Divide-se o número de rodas por 2 e diminui-se do número de veículos, o que restar é o número de carros.
Portanto 104/2 = 52 e 52 – 34 = 18
Logo, há 18 carros e 16 motos
18 carros x 4 rodas = 72 rodas
16 motos x 2 rodas = 32 rodas
Total de rodas ------- 104
Pela Álgebra
X = carros
y = motos
4 x + 2 y = 104
x + y = 34
Devemos eliminar uma das variáveis.
Se multiplicarmos, dividirmos ou diminuirmos, ambos os membros de uma equação por um mesmo numero diferente de ZERO, esta equação não se altera.
Assim:
4x + 2y = 104
x + y = 34 . (-2)
4x + 2y = 104
+ -2x – 2y = -68
2x = 36
x = 18
Ora, y = 16
Resposta: 18 carros e 16 motos.
Observação: Problemas envolvendo motos e carros, galinhas e coelhos, cabritos e patos, etc., nos quais aparecem os algarismos “dois e quatro” podem ser resolvidos rapidamente fazendo o uso da aritmética.
Pega-se o número de rodas, ou de pés, ou patas e divide-se por dois, e diminui-se do número de veículos ou de cabeças, o que restar será o número de veículos com quatro rodas ou animais com pés ou patas.
Exemplo ❶
Em um quintal, entre cabritos e patos, o total de cabeças é 30 e o total de pés é 86. Quantos animais há de cada espécie?
86 : 2 = 43
43 – 30 = 13 cabritos
Ora, 30 – 13 = 17 patos.
Prova: 13 x 4 = 52 52 + 34 = 86 pés
17 x 2 = 34
PROBLEMA 5 - LÓGICO-ARITMÉTICO
Um numeral foi multiplicado por 9 e deu como resultado para os últimos quatro algarismos à direita: 2, 9, 0, 3. Escreva este numeral.
Passo
❶ Encontrar quatro variáveis sem o uso de “x”, para não confundir com o sinal de multiplicação.
Deste modo: A B C D
x 9
2 9 0 3
É lógico que D vale 7, porque de (1 a 9) só existe um algarismo que multiplicado por 9 dá 3 e resta 6, isto é, o 7 .
7
A B C D
x 9
2 9 0 3
Passo
❷ Encontrar um algarismo de (1 a 9) que multiplicado por C e somado ao resto 6 dê zero. É o 6, resta 6.
6 7
A B C D
x 9
2 9 0 3
Passo
❸ Encontrar um algarismo de (1 a 9) que multiplicado por D e somado com 6 dê 9.
7 6 7
A B C D
x 9
2 9 0 3
Passo
❹ Encontrar um algarismo de (1 a 9) que multiplicado por A e somado com 6 dê final 2. É o 4, porque 4 x 9 = 36 e somado com 6 é igual a 42.
Portanto 4 7 6 7
A B C D
x 9
4 2 9 0 3
O numeral pedido é 4767.
Você pode perguntar o que tem o problema acima com o cargo que pretendo ocupar?
“Toda a empresa prima pela disciplina e organização.” É o que você acabou de demonstrar.
PROBLEMA 6
Quando eu tinha a idade que tens, eu possuía o dobro da tua idade. Quando tiveres a idade que tenho, a soma de nossas idades será 63 anos. Quantos anos temos?
Passo ❶
Pela lógica fica: a diferença entre as idades ou é 7 ou 9 anos (numerais divisores de 63).
Passo ❷
As duas parcelas que formarão o numeral 63, serão constituídas de duas e três dezenas e os algarismos finais adicionados devem dar resultado três (3). Dos algarismos, hindu-arábicos, não usaremos (0, 1, 2, 3), porque adicionados com o maior (9) não dão final (3). Logo, nos restam seis conjuntos a saber:
a) 24 e 39
b) 25 e 38
c) 26 e 37
d) 27 e 36
e) 28 e 35
f) 29 e 34
Passo ❸
Por meio do passo 1 serão eliminados do conjunto (a, b, c, f), restando d, e.
Então: nos restam (27 e 36), (28 e 35).
Seguindo a ordem alfabética, verifica-se:
(27 - 9) = 18 e (18 - 9) = 9
Observa-se, desse modo, que a diferença entre as idades é 9 anos.
Resposta: 18 e 27 anos.
Nota: Quando tiveres 27 eu terei 36 anos, que juntos darão 63 anos.
Pela Álgebra, temos:
Dados: x = eu
Y = tu
t = tempo da diferença entre as idades
x – y = t → 1ª equação (a diferença entre duas idades será sempre um tempo)
Do enunciado fica: Quando eu tinha a idade que tens possuía o dobro da tua idade.
Em álgebra: x – t = 2 (y – t)
x – t = 2y – 2 t
x – 2y = (-2t + t)
x – 2y = (- t ) 2ª equação
Unindo as duas equações (1ª e 2ª), verifica-se:
1ª x – y = t
2ª x – 2y = (-t). (-1)
1ª x – y = t
+
2ª -x + 2y = t
y = 2t
Da 1a equação vem : x – y = t
x- 2t = t
x = 3t
Da 2ª parte do enunciado temos: Quando tiveres a idade que tenho, a soma de nossas idades será 63 anos.
Portanto, Eu (3t + t) + tu (2t + t) = 63 → 4t + 3t = 63 → 7t = 63 → t = 9 anos
Hoje : 3 . 9 = 27 anos
2 . 9 = 18 anos
Resposta : Temos 18 e 27 anos respectivamente.
PROBLEMA 7 - Problema Escolar:
Em minha escola, os 4/7 da sala A, assim como os 3/5 da B são rapazes. Sabendo se que A + B = 58 Estudantes e que os rapazes das duas salas são 34 educandos. Pergunta-se: Quantas garotas estudam na Sala B?
Analiticamente será:
4/7 de A são rapazes, logo A= 7/7.
3/5 de B são rapazes, logo B= 5/5
Deste modo: Temos a soma de dois conjuntos A e B , dando como resultado 58.
Sendo um,multiplo de 7 e outro multiplo de 5.
Assim: tomamos 7 conjuntos,porque o maior denominador é 7.
E, verificamos quais desses conjuntos dão como soma 58.
Portanto: (A + B) Obs: 4º de A + 6º de B
1º--> 7 + 5
2º-->14 + 10
3º-->21 + 15
4º-->28 + 20
5º-->35 + 25
6º-->42 + 30
7º-->49 + 35
Daí: 1/7 de 28/1 = 28/7 = 4
e, 1/5 de B = 1/5 de 30/1= 30/5 = 6
Em A = 4(4) = 16 rapazes e 12 garotas.
Em B = 3(6) = 18 rapazes e 12 garotas.
Resposta: 12 garotas.
Algebricamente será:
A + B = 58 --> A = 58 -B 1º
E, 4A/7 + 3B/5 = 34/1 2º Nº de rapazes
Substituindo 1º no 2º, vem:
4( 58 - B) / 7 + 3B/5 = 34/1 (m.m.c = 35)
1160-20B + 21B = 1190
1160 + B = 1190
B = 1190 - 1160
B = 30
A = 28
O triplo de um número menos a sua terça parte é 16. Qual é o número?
Ora, o triplo é numeral mutiplicativo (três vezes) e 1/3 desse número (terça parte) nos diz que o inteiro é 3/3 (três terços). Logo 9/3 – 1/3 = 8/3 = 16 , se 8/3 desse número é 16 e 1/3 desse número é 2 – portanto o número é 6.
Por álgebra seria:
3x/1 – x/3 = 16/1 = m.m.c =3
Eliminando os denominadores: 9x – x = 48 → 8x = 48 → x = 48/8 → x = 6
PROBLEMA 2
São passados quinze anos desde que eu tinha um sétimo da idade do meu pai. Hoje meu pai tem o dobro da minha idade. Qual é a soma de nossas idades?
Ora, se meu pai tivesse 7 anos (impossível), eu teria 1 ano; se ele tivesse 14 anos (pouco provável), eu teria 2 anos. Contudo, se ele tivesse 21 anos (mais provável), eu teria 3 anos, istoé um sétimo de sua idade.
Deste modo: 21 + 15 = 2 (3 + 15) → 36 = 2 (18) Resposta: Temos 18 + 36 = 54 anos.
Pela álgebra
X = pai
Y = filho
Primeira equação x = 7y
Segunda equação x + 15 = 2 (y + 15)
x + 15 = 2y + 30
x – 2y = 30 – 15
x – 2y = 15
Levando o valor da primeira equação na segunda equação, fica:
7 y – 2 y = 15
5 y = 15
y = 15/5
y = 3
x = 7 y → x = 21
y = x/7 → y = 3
Hoje: x = 21 + 15 = 36
y = 3 + 15 = 18
Resposta: A soma de nossas idades é 36 + 18 = 54 anos.
PROBLEMA 3
OS TRÊS MILAGRES
Um andarilho, passando em frente a uma igreja, exclamou: Oh! meu santo! Se dobrar a quantidade de reais que tenho no bolso, darei R$ 20 para a igreja. E, entre contente e assustado, viu que seus reais haviam dobrado. Ao passar pela segunda igreja, repetiu o pedido e outra vez foi ouvido. Então bem depressa pagou a promessa. Na terceira igreja ao ser atendido pagou e sorriu, mas para sua surpresa ao colocar a mão no bolso o mesmo estava vazio. Quantos reais tinha o andarilho antes dos milagres?
Este é o tipo de problema que deve ser bem analisado antes de partirmos para a sua resolução.
Observação: Vamos usar as três primeiras variáveis em matemática: x, y e z.
Começa-se do final para o princípio, isto é, de z para x:
Passos
❶ Terceiro milagre
2 (z) – 20 = 0
2z = 20 → z = 10
❷ Segundo milagre
2 (y) – 20 = 10
2y = 30
y = 15
❸ Primeiro milagre
2 (x) – 20 = 15
2x = 35 → x = 17,5
Resposta: Tinha R$ 17,50.
PROBLEMA 4
Em um estacionamento entre carros e motos existem 104 rodas e 34 veículos. Quantos veículos há de cada tipo?
Resolução: Divide-se o número de rodas por 2 e diminui-se do número de veículos, o que restar é o número de carros.
Portanto 104/2 = 52 e 52 – 34 = 18
Logo, há 18 carros e 16 motos
18 carros x 4 rodas = 72 rodas
16 motos x 2 rodas = 32 rodas
Total de rodas ------- 104
Pela Álgebra
X = carros
y = motos
4 x + 2 y = 104
x + y = 34
Devemos eliminar uma das variáveis.
Se multiplicarmos, dividirmos ou diminuirmos, ambos os membros de uma equação por um mesmo numero diferente de ZERO, esta equação não se altera.
Assim:
4x + 2y = 104
x + y = 34 . (-2)
4x + 2y = 104
+ -2x – 2y = -68
2x = 36
x = 18
Ora, y = 16
Resposta: 18 carros e 16 motos.
Observação: Problemas envolvendo motos e carros, galinhas e coelhos, cabritos e patos, etc., nos quais aparecem os algarismos “dois e quatro” podem ser resolvidos rapidamente fazendo o uso da aritmética.
Pega-se o número de rodas, ou de pés, ou patas e divide-se por dois, e diminui-se do número de veículos ou de cabeças, o que restar será o número de veículos com quatro rodas ou animais com pés ou patas.
Exemplo ❶
Em um quintal, entre cabritos e patos, o total de cabeças é 30 e o total de pés é 86. Quantos animais há de cada espécie?
86 : 2 = 43
43 – 30 = 13 cabritos
Ora, 30 – 13 = 17 patos.
Prova: 13 x 4 = 52 52 + 34 = 86 pés
17 x 2 = 34
PROBLEMA 5 - LÓGICO-ARITMÉTICO
Um numeral foi multiplicado por 9 e deu como resultado para os últimos quatro algarismos à direita: 2, 9, 0, 3. Escreva este numeral.
Passo
❶ Encontrar quatro variáveis sem o uso de “x”, para não confundir com o sinal de multiplicação.
Deste modo: A B C D
x 9
2 9 0 3
É lógico que D vale 7, porque de (1 a 9) só existe um algarismo que multiplicado por 9 dá 3 e resta 6, isto é, o 7 .
7
A B C D
x 9
2 9 0 3
Passo
❷ Encontrar um algarismo de (1 a 9) que multiplicado por C e somado ao resto 6 dê zero. É o 6, resta 6.
6 7
A B C D
x 9
2 9 0 3
Passo
❸ Encontrar um algarismo de (1 a 9) que multiplicado por D e somado com 6 dê 9.
7 6 7
A B C D
x 9
2 9 0 3
Passo
❹ Encontrar um algarismo de (1 a 9) que multiplicado por A e somado com 6 dê final 2. É o 4, porque 4 x 9 = 36 e somado com 6 é igual a 42.
Portanto 4 7 6 7
A B C D
x 9
4 2 9 0 3
O numeral pedido é 4767.
Você pode perguntar o que tem o problema acima com o cargo que pretendo ocupar?
“Toda a empresa prima pela disciplina e organização.” É o que você acabou de demonstrar.
PROBLEMA 6
Quando eu tinha a idade que tens, eu possuía o dobro da tua idade. Quando tiveres a idade que tenho, a soma de nossas idades será 63 anos. Quantos anos temos?
Passo ❶
Pela lógica fica: a diferença entre as idades ou é 7 ou 9 anos (numerais divisores de 63).
Passo ❷
As duas parcelas que formarão o numeral 63, serão constituídas de duas e três dezenas e os algarismos finais adicionados devem dar resultado três (3). Dos algarismos, hindu-arábicos, não usaremos (0, 1, 2, 3), porque adicionados com o maior (9) não dão final (3). Logo, nos restam seis conjuntos a saber:
a) 24 e 39
b) 25 e 38
c) 26 e 37
d) 27 e 36
e) 28 e 35
f) 29 e 34
Passo ❸
Por meio do passo 1 serão eliminados do conjunto (a, b, c, f), restando d, e.
Então: nos restam (27 e 36), (28 e 35).
Seguindo a ordem alfabética, verifica-se:
(27 - 9) = 18 e (18 - 9) = 9
Observa-se, desse modo, que a diferença entre as idades é 9 anos.
Resposta: 18 e 27 anos.
Nota: Quando tiveres 27 eu terei 36 anos, que juntos darão 63 anos.
Pela Álgebra, temos:
Dados: x = eu
Y = tu
t = tempo da diferença entre as idades
x – y = t → 1ª equação (a diferença entre duas idades será sempre um tempo)
Do enunciado fica: Quando eu tinha a idade que tens possuía o dobro da tua idade.
Em álgebra: x – t = 2 (y – t)
x – t = 2y – 2 t
x – 2y = (-2t + t)
x – 2y = (- t ) 2ª equação
Unindo as duas equações (1ª e 2ª), verifica-se:
1ª x – y = t
2ª x – 2y = (-t). (-1)
1ª x – y = t
+
2ª -x + 2y = t
y = 2t
Da 1a equação vem : x – y = t
x- 2t = t
x = 3t
Da 2ª parte do enunciado temos: Quando tiveres a idade que tenho, a soma de nossas idades será 63 anos.
Portanto, Eu (3t + t) + tu (2t + t) = 63 → 4t + 3t = 63 → 7t = 63 → t = 9 anos
Hoje : 3 . 9 = 27 anos
2 . 9 = 18 anos
Resposta : Temos 18 e 27 anos respectivamente.
PROBLEMA 7 - Problema Escolar:
Em minha escola, os 4/7 da sala A, assim como os 3/5 da B são rapazes. Sabendo se que A + B = 58 Estudantes e que os rapazes das duas salas são 34 educandos. Pergunta-se: Quantas garotas estudam na Sala B?
Analiticamente será:
4/7 de A são rapazes, logo A= 7/7.
3/5 de B são rapazes, logo B= 5/5
Deste modo: Temos a soma de dois conjuntos A e B , dando como resultado 58.
Sendo um,multiplo de 7 e outro multiplo de 5.
Assim: tomamos 7 conjuntos,porque o maior denominador é 7.
E, verificamos quais desses conjuntos dão como soma 58.
Portanto: (A + B) Obs: 4º de A + 6º de B
1º--> 7 + 5
2º-->14 + 10
3º-->21 + 15
4º-->28 + 20
5º-->35 + 25
6º-->42 + 30
7º-->49 + 35
Daí: 1/7 de 28/1 = 28/7 = 4
e, 1/5 de B = 1/5 de 30/1= 30/5 = 6
Em A = 4(4) = 16 rapazes e 12 garotas.
Em B = 3(6) = 18 rapazes e 12 garotas.
Resposta: 12 garotas.
Algebricamente será:
A + B = 58 --> A = 58 -B 1º
E, 4A/7 + 3B/5 = 34/1 2º Nº de rapazes
Substituindo 1º no 2º, vem:
4( 58 - B) / 7 + 3B/5 = 34/1 (m.m.c = 35)
1160-20B + 21B = 1190
1160 + B = 1190
B = 1190 - 1160
B = 30
A = 28
PROBLEMA 1
Um viajante vai de uma cidade A, para uma cidade B, em um trem com a velocidade de 60 km/h. E, retorna em outro trem com a velocidade de 96 km/h. O tempo de permanência nos trens é de nove horas e cinquenta e oito minutos. Pergunta-se: Qual a distância entre as duas cidades?
Observação: Problema em m.r.u. (movimento retilíneo uniforme), isto é, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos iguais de tempo. Pela fórmula, temos:
Passo ❶
d1 = v1 . t1
d2 = v2 . t 2
d1 = d2 (distâncias iguais entre as cidades)
Portanto: v1 . t1 = v2 . t2 → 60 t1 = 96t2 → 96 = t1 → 8 = t1
60 5 t2
Passo ❷
A velocidade maior – 96 km/h – está para a velocidade menor – 60 km/h - 96/60, assim como o tempo menor está para o tempo maior – t1/t2, isto é, velocidade e tempo, são grandezas inversamente proporcionais (Quando uma diminui a outra aumenta e vice-versa).
Dá a expressão: 8 = t1
5 t2
Do estudo das frações aprendemos que: em toda proporção (igualdade entre duas frações), quando adicionamos numeradores e denominadores, conservando os seus denominadores, a proporção não se altera, exemplo:
_a_ = _c_ → a + b → c + d portanto 8 + 5 = t1 + t2
b d b d 5 t2
Da escrita do problema temos: o tempo de permanência nos trens é de 9 horas e 58 minutos. Nota-se que o tempo nos é dado em duas unidades: horas e minutos, e em minutos será: 9 . 60’ + 58’ = 598’ (o sinal acima de 60 e do 8 significa minutos). Logo, 540’ + 58’ = 598’ → t1 + t2 = 598’
v1 = 60 km/h → 1km/min.
v2 = 96 km/h → 1.6 km/min.
portanto 8 + 5 = t1 + t2 → 13 = 598’
5 t2 5 t2
Isolando t2, vem : t2 = 5 (598’) → t2 = 230’
13
d2 = v2 . t 2
d2 = 1,6 (230’)
d2 = 368 km
t1 + t2 = 598’ → t1 + 230’ = 598’ → t1 = 598’ – 230’ →
t1 = 368’
d1 = v1 . t1 → d1 = 1 (368’) → d1 = 368 km
Resposta: A distância entre as duas cidades é de 368 km.
PROBLEMA 2
Do momento em que um atirador aperta o gatilho até o momento do impacto da bala no alvo, decorre sempre um intervalo de tempo. Para um determinado atirador, este tempo foi de 1,5 segundos. Sabendo-se que a distância entre o atirador e o alvo é de 360 metros e que a velocidade do som é de 360 metros por segundo, determine a velocidade da bala.
Dados:
d (distância entre o atirador e o alvo)
d = ds = db
tt = tempo total
tt = ts + tb
ts = tempo do som
tb = tempo da bala
tt – 1,5 seg.
ds = Vs. (ts) → 360 = 360 . (ts) → ts = 360 → ts = 1 seg.
360
tb = tt – ts → tb = (1,5 – 1) seg → tb = 0,5 seg.
Vb = ?
db = vb . tb
360 = vb . 0,5 → vb = 360 → vb = 720 m/seg.
0,5
Resposta: A velocidade da bala é de 720 m/seg.
PROBLEMA 3
Dois trens partem simultaneamente de duas cidades (A e B), distantes entre si de 420 km. Os trens viajam em sentidos contrários e por linhas paralelas. O que vai de para B – VAB = 60 km/h e o que vai de B para A - VBA = 80 km/h. Sabendo-se que a distância entre as cidades é de 420 Km, pede-se:
a) Quanto tempo levarão para se cruzarem?
b) A que distância estarão da cidade A?
Passo ❶
Identificar o tipo de problema para sabermos qual será a fórmula resolutiva. Neste caso, é (m.r.u).
Passo ❷
Determinar um ponto de cruzamento (C) , que pela lógica está mais próximo da cidade A, visto que: VBA ˃ VAB (A velocidade do trem que vem da cidade B, 80 km/h é maior que o trem que vem da cidade A, 60 km/h. )
● ⃝ A ● ⃝ C ● ⃝ B
VAB = 60 km/h VBA = 80 Km/h
Passo ❸
Usar as velocidades em conjunto (Ambas contribuem para alcançar o ponto C).
Passo ❹
Aplicar a fórmula.
Assim: d = v . t → 420 = (VAB + VBA) t
420 = (60 + 80) t
420 = (140) t
t = 420
140
t = 3 horas (a)
Passo ❺
Encontrar a que distância da cidade A se dará o encontro, isto é, o cruzamento dos trens.
tempo (t) = 3 horas → 3 (60 km/h) = 180 km/h
VAB se encontrará a 180 k da cidade A.
VBA também, pois 3 (80 km/h) = 240 km e 420 – 240 = 180 km
Respostas: a) 3 horas b) 180 km
PROBLEMA 4
Um menino, entrando em um deserto encontra uma mina abandonada. Na mina tinha um poço e o menino encostando o ouvido na tampa do mesmo soltou uma pedra, após 4,25 segundos, ele ouviu o impacto da pedra no fundo do poço.
Sabendo-se que a velocidade do som é de 320 m/s, determine a profundidade do poço.
Passo ❶
Dados:
ds = distância percorrida pelo som
dp = distância percorrida pela pedra
vs = velocidade do som
v0 = velocidade inicial – como parte do repouso é = 0 (zero)
a = aceleração gravitacional (g) aprox. 10ms²
ts = tempo do som
t = tempo da pedra
Ora, sabemos que a distância apercorrida pelo 2º móvel (som) é a mesma do 1º móvel (pedra) e que ambas representam a profundidade do poço em questão. Deste modo: ds = dp
Passo ❷
Para o 1º móvel (pedra), fica: d = vOt +1/2 at² (m.r.u.v) – movimento retilíneo uniformemente variado (queda livre).
Para o 2º móvel, temos: ds = vs . ts . (m.r.u) – movimento retilíneo uniforme. Sabendo que, equação quer dizer uma igualdade entre duas partes, vem:
v0t +1/2 at² = 320 (4,25 – t)
0 + 5t² = 320 (4,25 – t)
5t² = 320 (4,25 – t) : (5)
t² = 64 (4,25 – t)
t² = 272 – 64t
t² + 64t – 272 = 0 → 2ª equação
Passo ❸
t² + 64t – 272 = 0 → 2ª equação
a1 = 1
b = 64
c = - 272
∆ = b² - 4ac
∆ = 4096 – 4 (1) (-272)
∆ = 4096 + 1088
∆ = 5184
√∆ = √5184
√∆ = 72
t’ = - b + √∆ → t’ = - 64 + 72 → 8__ → 4 segundos
2a 2 (1) 2
Assim, o tempo gasto pela pedra é de 4 segundos. E o tempo do som é de 0,25 set.
Daí: dp = 5t² → dp = 5 (4)² → 5 . 16 = 80 m
ds = 320 (0,25) → 80 m R: 80 m
Um viajante vai de uma cidade A, para uma cidade B, em um trem com a velocidade de 60 km/h. E, retorna em outro trem com a velocidade de 96 km/h. O tempo de permanência nos trens é de nove horas e cinquenta e oito minutos. Pergunta-se: Qual a distância entre as duas cidades?
Observação: Problema em m.r.u. (movimento retilíneo uniforme), isto é, o móvel percorre distâncias iguais em intervalos iguais de tempo. Pela fórmula, temos:
Passo ❶
d1 = v1 . t1
d2 = v2 . t 2
d1 = d2 (distâncias iguais entre as cidades)
Portanto: v1 . t1 = v2 . t2 → 60 t1 = 96t2 → 96 = t1 → 8 = t1
60 5 t2
Passo ❷
A velocidade maior – 96 km/h – está para a velocidade menor – 60 km/h - 96/60, assim como o tempo menor está para o tempo maior – t1/t2, isto é, velocidade e tempo, são grandezas inversamente proporcionais (Quando uma diminui a outra aumenta e vice-versa).
Dá a expressão: 8 = t1
5 t2
Do estudo das frações aprendemos que: em toda proporção (igualdade entre duas frações), quando adicionamos numeradores e denominadores, conservando os seus denominadores, a proporção não se altera, exemplo:
_a_ = _c_ → a + b → c + d portanto 8 + 5 = t1 + t2
b d b d 5 t2
Da escrita do problema temos: o tempo de permanência nos trens é de 9 horas e 58 minutos. Nota-se que o tempo nos é dado em duas unidades: horas e minutos, e em minutos será: 9 . 60’ + 58’ = 598’ (o sinal acima de 60 e do 8 significa minutos). Logo, 540’ + 58’ = 598’ → t1 + t2 = 598’
v1 = 60 km/h → 1km/min.
v2 = 96 km/h → 1.6 km/min.
portanto 8 + 5 = t1 + t2 → 13 = 598’
5 t2 5 t2
Isolando t2, vem : t2 = 5 (598’) → t2 = 230’
13
d2 = v2 . t 2
d2 = 1,6 (230’)
d2 = 368 km
t1 + t2 = 598’ → t1 + 230’ = 598’ → t1 = 598’ – 230’ →
t1 = 368’
d1 = v1 . t1 → d1 = 1 (368’) → d1 = 368 km
Resposta: A distância entre as duas cidades é de 368 km.
PROBLEMA 2
Do momento em que um atirador aperta o gatilho até o momento do impacto da bala no alvo, decorre sempre um intervalo de tempo. Para um determinado atirador, este tempo foi de 1,5 segundos. Sabendo-se que a distância entre o atirador e o alvo é de 360 metros e que a velocidade do som é de 360 metros por segundo, determine a velocidade da bala.
Dados:
d (distância entre o atirador e o alvo)
d = ds = db
tt = tempo total
tt = ts + tb
ts = tempo do som
tb = tempo da bala
tt – 1,5 seg.
ds = Vs. (ts) → 360 = 360 . (ts) → ts = 360 → ts = 1 seg.
360
tb = tt – ts → tb = (1,5 – 1) seg → tb = 0,5 seg.
Vb = ?
db = vb . tb
360 = vb . 0,5 → vb = 360 → vb = 720 m/seg.
0,5
Resposta: A velocidade da bala é de 720 m/seg.
PROBLEMA 3
Dois trens partem simultaneamente de duas cidades (A e B), distantes entre si de 420 km. Os trens viajam em sentidos contrários e por linhas paralelas. O que vai de para B – VAB = 60 km/h e o que vai de B para A - VBA = 80 km/h. Sabendo-se que a distância entre as cidades é de 420 Km, pede-se:
a) Quanto tempo levarão para se cruzarem?
b) A que distância estarão da cidade A?
Passo ❶
Identificar o tipo de problema para sabermos qual será a fórmula resolutiva. Neste caso, é (m.r.u).
Passo ❷
Determinar um ponto de cruzamento (C) , que pela lógica está mais próximo da cidade A, visto que: VBA ˃ VAB (A velocidade do trem que vem da cidade B, 80 km/h é maior que o trem que vem da cidade A, 60 km/h. )
● ⃝ A ● ⃝ C ● ⃝ B
VAB = 60 km/h VBA = 80 Km/h
Passo ❸
Usar as velocidades em conjunto (Ambas contribuem para alcançar o ponto C).
Passo ❹
Aplicar a fórmula.
Assim: d = v . t → 420 = (VAB + VBA) t
420 = (60 + 80) t
420 = (140) t
t = 420
140
t = 3 horas (a)
Passo ❺
Encontrar a que distância da cidade A se dará o encontro, isto é, o cruzamento dos trens.
tempo (t) = 3 horas → 3 (60 km/h) = 180 km/h
VAB se encontrará a 180 k da cidade A.
VBA também, pois 3 (80 km/h) = 240 km e 420 – 240 = 180 km
Respostas: a) 3 horas b) 180 km
PROBLEMA 4
Um menino, entrando em um deserto encontra uma mina abandonada. Na mina tinha um poço e o menino encostando o ouvido na tampa do mesmo soltou uma pedra, após 4,25 segundos, ele ouviu o impacto da pedra no fundo do poço.
Sabendo-se que a velocidade do som é de 320 m/s, determine a profundidade do poço.
Passo ❶
Dados:
ds = distância percorrida pelo som
dp = distância percorrida pela pedra
vs = velocidade do som
v0 = velocidade inicial – como parte do repouso é = 0 (zero)
a = aceleração gravitacional (g) aprox. 10ms²
ts = tempo do som
t = tempo da pedra
Ora, sabemos que a distância apercorrida pelo 2º móvel (som) é a mesma do 1º móvel (pedra) e que ambas representam a profundidade do poço em questão. Deste modo: ds = dp
Passo ❷
Para o 1º móvel (pedra), fica: d = vOt +1/2 at² (m.r.u.v) – movimento retilíneo uniformemente variado (queda livre).
Para o 2º móvel, temos: ds = vs . ts . (m.r.u) – movimento retilíneo uniforme. Sabendo que, equação quer dizer uma igualdade entre duas partes, vem:
v0t +1/2 at² = 320 (4,25 – t)
0 + 5t² = 320 (4,25 – t)
5t² = 320 (4,25 – t) : (5)
t² = 64 (4,25 – t)
t² = 272 – 64t
t² + 64t – 272 = 0 → 2ª equação
Passo ❸
t² + 64t – 272 = 0 → 2ª equação
a1 = 1
b = 64
c = - 272
∆ = b² - 4ac
∆ = 4096 – 4 (1) (-272)
∆ = 4096 + 1088
∆ = 5184
√∆ = √5184
√∆ = 72
t’ = - b + √∆ → t’ = - 64 + 72 → 8__ → 4 segundos
2a 2 (1) 2
Assim, o tempo gasto pela pedra é de 4 segundos. E o tempo do som é de 0,25 set.
Daí: dp = 5t² → dp = 5 (4)² → 5 . 16 = 80 m
ds = 320 (0,25) → 80 m R: 80 m
PROBLEMA 1
Oitocentos quilos de alimento iam ser entregues às famílias carentes. Na hora da partilha, faltaram quatro famílias e a alegria ficou com as famílias que compareceram, pois receberam dez quilos a mais cada uma.
Pergunta-se, quantas famílias foram inicialmente convidadas?
Explicação: Os numeadores são a quantidade em quilos de alimento e os denominadores o número de famílias.
Passos
❶ 800 é par, portanto 800/2 = 400 kg.
❷ 800/4 = 200 kg
❸ 800/8 = 100 kg
❹ 800/16 = 50 kg
❺ 800/20 = 40 kg
Se observarmos os passos ❹ e ❺ fica claro que foram, a princípio, convidadas 20 famílias que iriam receber 40 kg de alimentos. Já que faltaram 4 famílias, as restantes restantes receberam 50 kg cada uma.
Por Álgebra (Equação do 2º Grau)
800/x – 4 - 800/x = 10/1
m.m.c
x (x-4) ou x² - 4x
Eliminando os denominadores temos: 800 x – 800 (x – 4) = 10 x² - 40 x
Dividindo ambos os membros por 10 temos:
80 x – 80 x + 320 = x² - 4 x
x² - 4 x = 320
x² - 4 x – 320 = 0 (Equação de 2º Grau)
a = 1
b = - 4
c = - 320
∆ = b² - 4ac
∆ = 16 + 1280
∆ = 1296
√∆ = √1296 Para se extrair a raiz quadrada separa-se de dois em dois algarismos da direita para a esquerda.
√12.96_____
Encontra-se um número que elevado ao quadrado seja menor ou igual aos dois últimos algarismos à esquerda. No caso acima, este número é o 3. Porque 3² = 9 enquanto 4² é 16, maior que 12.
Portanto:
√12.96 3____
-9↓↓
0396
Faz-se o abaixamento dos outros dois algarismos à direita, formando desse modo o numeral 396. Dobra-se a primeira raiz (3) e coloca-se abaixo da barra lateral direita.
Nota-se que de 1 a 9 só tem dois algarismos que ao quadrado dão o final 6. O 4 e o 6, pois 4² = 16 e 6² = 36.
Se colocarmos 4 ficará 64 x 4 = 256
Se colocarmos 6 ficará 66 x 6 = 396
Logo, nossa segunda raiz é 6.
E a raiz de 1296 é 36.
Assim:
√12.96_36____
-9↓↓ 66x6
0396
Portanto √∆ = 36
X’ = - b + √∆ → - (-4) + 36 = 4 + 36 = 20
2a 2 (1) 2
A segunda raiz é negativa e como não existe número de família negativo, abandona-se esta possibilidade.
Resposta: 20 famílias.
PROBLEMA 2
Tenho um certo número de bolas e caixas, se colocar quatro bolas em cada caixa, me restarão cinquenta bolas. Mas se colocar seis me faltarão trinta bolas. Quantas bolas e quantas caixas tenho?
Passo ❶
Antes colocava 4 restavam 50 bolas.
Agora coloco 6 e faltam 30 bolas.
Ora, antes eu tinha + 50 e agora devo – 30.
Logo, perdi 80 só porque coloquei 2 bolas a mais. Então, 80/2 = 40 caixas e 40 . 4 = 160 Como sobravam 50, vem 160 + 50 = 210 bolas
Resposta: 40 caixas e 210 bolas.
Pela Álgebra
Passo ❶
x → caixas
y → bolas
1º) 4x = y – 50
2ª) 6x = y + 30
Passo ❷
Pelo método comparativo, isolamos x.
Da 1ª temos: x = y - 50
4
Da 2ª vem: x = y + 30
6
Então: y – 50 = y + 30
4 6
Daí: 6 (y – 50) = 4 (y + 30)
6y – 300 = 4y + 120
6y – 4y = 120 + 300
2y = 420
y = 210
Passo ❸
Substituindo o valor de y na 1ª ou 2ª equação encontraremos o valor de x = 40
Resposta: 40 caixas e 210 bolas.
Oitocentos quilos de alimento iam ser entregues às famílias carentes. Na hora da partilha, faltaram quatro famílias e a alegria ficou com as famílias que compareceram, pois receberam dez quilos a mais cada uma.
Pergunta-se, quantas famílias foram inicialmente convidadas?
Explicação: Os numeadores são a quantidade em quilos de alimento e os denominadores o número de famílias.
Passos
❶ 800 é par, portanto 800/2 = 400 kg.
❷ 800/4 = 200 kg
❸ 800/8 = 100 kg
❹ 800/16 = 50 kg
❺ 800/20 = 40 kg
Se observarmos os passos ❹ e ❺ fica claro que foram, a princípio, convidadas 20 famílias que iriam receber 40 kg de alimentos. Já que faltaram 4 famílias, as restantes restantes receberam 50 kg cada uma.
Por Álgebra (Equação do 2º Grau)
800/x – 4 - 800/x = 10/1
m.m.c
x (x-4) ou x² - 4x
Eliminando os denominadores temos: 800 x – 800 (x – 4) = 10 x² - 40 x
Dividindo ambos os membros por 10 temos:
80 x – 80 x + 320 = x² - 4 x
x² - 4 x = 320
x² - 4 x – 320 = 0 (Equação de 2º Grau)
a = 1
b = - 4
c = - 320
∆ = b² - 4ac
∆ = 16 + 1280
∆ = 1296
√∆ = √1296 Para se extrair a raiz quadrada separa-se de dois em dois algarismos da direita para a esquerda.
√12.96_____
Encontra-se um número que elevado ao quadrado seja menor ou igual aos dois últimos algarismos à esquerda. No caso acima, este número é o 3. Porque 3² = 9 enquanto 4² é 16, maior que 12.
Portanto:
√12.96 3____
-9↓↓
0396
Faz-se o abaixamento dos outros dois algarismos à direita, formando desse modo o numeral 396. Dobra-se a primeira raiz (3) e coloca-se abaixo da barra lateral direita.
Nota-se que de 1 a 9 só tem dois algarismos que ao quadrado dão o final 6. O 4 e o 6, pois 4² = 16 e 6² = 36.
Se colocarmos 4 ficará 64 x 4 = 256
Se colocarmos 6 ficará 66 x 6 = 396
Logo, nossa segunda raiz é 6.
E a raiz de 1296 é 36.
Assim:
√12.96_36____
-9↓↓ 66x6
0396
Portanto √∆ = 36
X’ = - b + √∆ → - (-4) + 36 = 4 + 36 = 20
2a 2 (1) 2
A segunda raiz é negativa e como não existe número de família negativo, abandona-se esta possibilidade.
Resposta: 20 famílias.
PROBLEMA 2
Tenho um certo número de bolas e caixas, se colocar quatro bolas em cada caixa, me restarão cinquenta bolas. Mas se colocar seis me faltarão trinta bolas. Quantas bolas e quantas caixas tenho?
Passo ❶
Antes colocava 4 restavam 50 bolas.
Agora coloco 6 e faltam 30 bolas.
Ora, antes eu tinha + 50 e agora devo – 30.
Logo, perdi 80 só porque coloquei 2 bolas a mais. Então, 80/2 = 40 caixas e 40 . 4 = 160 Como sobravam 50, vem 160 + 50 = 210 bolas
Resposta: 40 caixas e 210 bolas.
Pela Álgebra
Passo ❶
x → caixas
y → bolas
1º) 4x = y – 50
2ª) 6x = y + 30
Passo ❷
Pelo método comparativo, isolamos x.
Da 1ª temos: x = y - 50
4
Da 2ª vem: x = y + 30
6
Então: y – 50 = y + 30
4 6
Daí: 6 (y – 50) = 4 (y + 30)
6y – 300 = 4y + 120
6y – 4y = 120 + 300
2y = 420
y = 210
Passo ❸
Substituindo o valor de y na 1ª ou 2ª equação encontraremos o valor de x = 40
Resposta: 40 caixas e 210 bolas.
PROBLEMA 1
Em uma P.A. de número ímpar de termos, a soma dos termos de ordem par é 39, e a soma dos termos de ordem ímpar é 52. Qual o número de termos desta P.A.?
Dados: S = soma Tm = termo médio n = número de termos
I = ímpar SI = soma dos ímpares
P = par SP = soma dos pares
SI – SP = Tm ou Tm = SI – SP
Tm = 52 – 39
Tm = 13
Para toda a P.A. de números ímpares de termos o termo médio é sempre igual a soma dos ímpares menos a soma dos pares. Ora, por que encontrar o termo médio quando nos pedem o número de termos?
Resposta: Porque numa P.A. de número de termo ímpar temos:
Logo, S = 52 + 39 → S = 91
n =__S__ → n = _91 → n = 7
Tm 13
Por que o autor nos pediu o número de termos e não a progressão aritmética?
Veja:
a) (-2, 3, 8, 13, 18, 23, 28)
b) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22)
Atenção!! Os termos pares e ímpares não são os numerais em si, mas sim a posição que os algarismos ocupam dentro da expressão matemática. Por exemplo, os termos pares da expressão matemática a são: 3, 13 e 23 e os termos ímpares são: -2, 8, 18 e 28.
PROBLEMA 2
Calcule a soma dos primeiros 21 termos da P.A., cujo termo geral é an = n – 5
2
Passos:
❶ Para termos a soma, devemos ter: a1, an e n. No caso acima, nos faltam a1 e an pois n é igual a 21.
❷ Forma geral da soma: S = (a1 + an) n
2
❸ Nota-se que a1 e an estão na expressão matemática: an = n – 5
2
❹ Qual é o menor numeral que diminuído de 5 unidades seja divisível por dois? Resposta: 7, que dá como resultado 1.
❺ E acima de 7, qual é o menor numeral que diminuído de 5 seja divisível por 2? Resposta: 9, que dá como resultado 2.
❻ Para n = 7 → n= 1
Para n = 9 → n = 2
Recordando: a2 = a1 + r (P.A. com 2 termos)
a3 = a1 + 2r (P.A. com 3 termos)
a4 = a1 + 3r (P.A. com 4 termos)
a5 = a1 + 4r (P.A. com 5 termos)
a6 = a1 + 5r (P.A. com 6 termos)
a7 = a1 + 6r (P.A. com 7 termos)
Sendo n = 7, fica: a1 + 6r = 1
Sendo n = 9, vem: a1 + 8r = 2
Formamos deste modo um sistema. Daí:
1ª equação: a1 + 6r = 1 .(-1)
2ª equação: a1 + 8r = 2
3ª equação: -a1 - 6r = -1
+
4ª equação: a1 + 8r = 2
2r = 1 r = 1/2
Levando o valor de r na 1ª equação, temos:
a1 + 6r = 1 → a1 + 6 x ½ = 1 → a1 + 3 = 1 → a1 = 1 – 3 → a1 = -2
a21 é o nosso an
portanto: a1 = -2 r = 1/2
→ -2 + 20 (0.5) → -2 + 10 = 8 portanto a21 ou an = 8
Finalmente, temos os dados necessários para efetuar a soma dos 21 primeiros termos.
Então: a21 = (a1 + an) n
2
a21 = (-2 + 8) 21
2
a21 = (6) . 21 → a21 = 63
2
PROBLEMA 3
Escrever a P.A., cuja a soma dos n primeiros termos é n (3n + 1), qualquer que seja o valor de n. A soma de uma P.A. tem duas fórmulas, que são:
S = (a1 + an) n = na1 + (n - 1) rn
2 2
Portanto: n (3n + 1) → 3n² + n = na1 + (n - 1) rn
1 1 2
Eliminando o m.m.c., temos:
6n² + 2n = 2a1n + rn² - rn
Unindo os termos semelhantes:
(6 – r) n² + 2n = - rn + 2a1n
(6 – r) n² + (2 + r – 2a1) n = 0
Ora, se o primeiro membro é nulo para qualquer valor de n, então:
6 – r = 0 → r = 6
E 2 + r - 2a1 = 0
2 + r = 2a1 portanto 8 = 2a1 → a1 = 4
Resposta: P.A. = (4, 10, 16 ... )
Em uma P.A. de número ímpar de termos, a soma dos termos de ordem par é 39, e a soma dos termos de ordem ímpar é 52. Qual o número de termos desta P.A.?
Dados: S = soma Tm = termo médio n = número de termos
I = ímpar SI = soma dos ímpares
P = par SP = soma dos pares
SI – SP = Tm ou Tm = SI – SP
Tm = 52 – 39
Tm = 13
Para toda a P.A. de números ímpares de termos o termo médio é sempre igual a soma dos ímpares menos a soma dos pares. Ora, por que encontrar o termo médio quando nos pedem o número de termos?
Resposta: Porque numa P.A. de número de termo ímpar temos:
Logo, S = 52 + 39 → S = 91
n =__S__ → n = _91 → n = 7
Tm 13
Por que o autor nos pediu o número de termos e não a progressão aritmética?
Veja:
a) (-2, 3, 8, 13, 18, 23, 28)
b) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22)
Atenção!! Os termos pares e ímpares não são os numerais em si, mas sim a posição que os algarismos ocupam dentro da expressão matemática. Por exemplo, os termos pares da expressão matemática a são: 3, 13 e 23 e os termos ímpares são: -2, 8, 18 e 28.
PROBLEMA 2
Calcule a soma dos primeiros 21 termos da P.A., cujo termo geral é an = n – 5
2
Passos:
❶ Para termos a soma, devemos ter: a1, an e n. No caso acima, nos faltam a1 e an pois n é igual a 21.
❷ Forma geral da soma: S = (a1 + an) n
2
❸ Nota-se que a1 e an estão na expressão matemática: an = n – 5
2
❹ Qual é o menor numeral que diminuído de 5 unidades seja divisível por dois? Resposta: 7, que dá como resultado 1.
❺ E acima de 7, qual é o menor numeral que diminuído de 5 seja divisível por 2? Resposta: 9, que dá como resultado 2.
❻ Para n = 7 → n= 1
Para n = 9 → n = 2
Recordando: a2 = a1 + r (P.A. com 2 termos)
a3 = a1 + 2r (P.A. com 3 termos)
a4 = a1 + 3r (P.A. com 4 termos)
a5 = a1 + 4r (P.A. com 5 termos)
a6 = a1 + 5r (P.A. com 6 termos)
a7 = a1 + 6r (P.A. com 7 termos)
Sendo n = 7, fica: a1 + 6r = 1
Sendo n = 9, vem: a1 + 8r = 2
Formamos deste modo um sistema. Daí:
1ª equação: a1 + 6r = 1 .(-1)
2ª equação: a1 + 8r = 2
3ª equação: -a1 - 6r = -1
+
4ª equação: a1 + 8r = 2
2r = 1 r = 1/2
Levando o valor de r na 1ª equação, temos:
a1 + 6r = 1 → a1 + 6 x ½ = 1 → a1 + 3 = 1 → a1 = 1 – 3 → a1 = -2
a21 é o nosso an
portanto: a1 = -2 r = 1/2
→ -2 + 20 (0.5) → -2 + 10 = 8 portanto a21 ou an = 8
Finalmente, temos os dados necessários para efetuar a soma dos 21 primeiros termos.
Então: a21 = (a1 + an) n
2
a21 = (-2 + 8) 21
2
a21 = (6) . 21 → a21 = 63
2
PROBLEMA 3
Escrever a P.A., cuja a soma dos n primeiros termos é n (3n + 1), qualquer que seja o valor de n. A soma de uma P.A. tem duas fórmulas, que são:
S = (a1 + an) n = na1 + (n - 1) rn
2 2
Portanto: n (3n + 1) → 3n² + n = na1 + (n - 1) rn
1 1 2
Eliminando o m.m.c., temos:
6n² + 2n = 2a1n + rn² - rn
Unindo os termos semelhantes:
(6 – r) n² + 2n = - rn + 2a1n
(6 – r) n² + (2 + r – 2a1) n = 0
Ora, se o primeiro membro é nulo para qualquer valor de n, então:
6 – r = 0 → r = 6
E 2 + r - 2a1 = 0
2 + r = 2a1 portanto 8 = 2a1 → a1 = 4
Resposta: P.A. = (4, 10, 16 ... )
TEOREMA DA SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A.
Utilizaremos o problema 3 de Progressões Aritméticas para a demonstração da veracidade do Teorema da Soma dos n primeiros termos de uma P.A, o qual foi criado por mim.
Em toda a soma dos n primeiros termos de uma P.A., o primeiro termo a1 nos é dado pela soma dos coeficientes dos enes. E o r será o dobro do coeficiente de n², assim, do problema anterior vem: 3n² + n.
Verifica-se que a1 = 3 + 1 → a1 = 4
r = 2 x 3 → r = 6
Veremos mais um exemplo:
A expressão Sn = n² - 3n, representa a soma dos n primeiros termos da P.A., cujo o segundo termo é:
a1 = 1 – 3 → a1 = -2
r = 2 x 1 → r = 2
P.A. = (-2, 0)
Resposta: O segundo termo é 0.
Utilizaremos o problema 3 de Progressões Aritméticas para a demonstração da veracidade do Teorema da Soma dos n primeiros termos de uma P.A, o qual foi criado por mim.
Em toda a soma dos n primeiros termos de uma P.A., o primeiro termo a1 nos é dado pela soma dos coeficientes dos enes. E o r será o dobro do coeficiente de n², assim, do problema anterior vem: 3n² + n.
Verifica-se que a1 = 3 + 1 → a1 = 4
r = 2 x 3 → r = 6
Veremos mais um exemplo:
A expressão Sn = n² - 3n, representa a soma dos n primeiros termos da P.A., cujo o segundo termo é:
a1 = 1 – 3 → a1 = -2
r = 2 x 1 → r = 2
P.A. = (-2, 0)
Resposta: O segundo termo é 0.
A multiplicação é a união de valores iguais. Assim:3 X 5 = 5 + 5 + 5 = 15.
Nas linhas horizontais dentro dos retângulos estão os múltiplos ou produtos.
Nota: Agradecimento especial ao amigo Carlos Silveira pelo apoio gráfico.
Nas linhas horizontais dentro dos retângulos estão os múltiplos ou produtos.
Nota: Agradecimento especial ao amigo Carlos Silveira pelo apoio gráfico.
Os numerais: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 - multiplicados entre si, isto é, elevados ao quadrado.
Primeiro Passo → Multiplica-se a parte da dezena e a parte das unidades na vertical.
Segundo Passo → Acrescenta-se uma unidade à parte das dezenas.
----------------------------------------------------------------------------
Exemplo 1:
15
x 15__
225
Faz-se a multiplicação de 5 x 5 na coluna vertical direita do cálculo acima, que é igual a 25.
Na vertical esquerda, crescenta-se 1 à primeira dezena = 1 + 1 = 2 e multiplica-se o resultado pela segunda dezena = 2 x 1 = 2
O resultado final é 225.
-------------------------------------------------------------------------
Exemplo 2:
25
x 25__
625
Faz-se a multiplicação de 5 x 5 na coluna vertical direita do cálculo acima, que é igual a 25.
Na vertical esquerda, crescenta-se 1 à primeira dezena = 2 + 1 = 3 e multiplica-se o resultado pela segunda dezena = 3 x 2 = 6
O resultado final é 625.
Primeiro Passo → Multiplica-se a parte da dezena e a parte das unidades na vertical.
Segundo Passo → Acrescenta-se uma unidade à parte das dezenas.
----------------------------------------------------------------------------
Exemplo 1:
15
x 15__
225
Faz-se a multiplicação de 5 x 5 na coluna vertical direita do cálculo acima, que é igual a 25.
Na vertical esquerda, crescenta-se 1 à primeira dezena = 1 + 1 = 2 e multiplica-se o resultado pela segunda dezena = 2 x 1 = 2
O resultado final é 225.
-------------------------------------------------------------------------
Exemplo 2:
25
x 25__
625
Faz-se a multiplicação de 5 x 5 na coluna vertical direita do cálculo acima, que é igual a 25.
Na vertical esquerda, crescenta-se 1 à primeira dezena = 2 + 1 = 3 e multiplica-se o resultado pela segunda dezena = 3 x 2 = 6
O resultado final é 625.
Os numerais: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 - quando seguidos das partes decimais: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - e elevados ao quadrado podem ser resolvidos rapidamente pelo seguinte método:
Primeiro Passo → Eleva-se ao quadrado a parte inteira. Exemplo: (15,6) ² = 15 x 15 = 225
Segundo Passo → Divide-se a parte inteira por 5. Exemplo: 15 : 5 = 3
Terceiro Passo → Multiplica-se o resultado da divisão pela parte decimal. Exemplo: 3 x 6 = 18
Quarto Passo → Eleva-se a parte decimal ao quadrado de forma que tenha dois algarismos após a vírgula. Exemplo: 6 x 6 = 36 = 0.36
Quinto Passo → Adicionam-se as partes. Exemplo: 225 + 18 + 0,36 = 243,36
Exemplo 1:
(15,6) ² = 15 ² + (15 : 5) x (6) + (0,6) ²
225 + (3 x 6) + 0,36
225 + 18 + 0,36 = 243,36
--------------------------------------------------------------------
Exemplo 2:
(45,9) ² = 45 ² + (45 : 5) x (9) + (0,9) ²
2025 + (9 x 69 + 0,81
2025 + 81 + 0,81 = 2.106,81
Multiplicações de três por três algarismos com ambas as centenas com final 99. Usaremos C.A. ( cálculo auxiliar ).
Exemplo 1:
199 x 199 = 39601
C.A. = 200 x 200 = 40000
40000 - 399 = 39601
Como foi feito a operação?
Foi feito arredondamento para 200 x 200 e subtraído da adição das centenas acrescidas de uma unidade e seguida de 99. Portanto 40000 - 399 = 39601.
Exemplo 2:
299 x 399 = 119301
C.A. = 300 x 400 = 120000
120000 - 699 = 119301
Exemplo 3:
499 x 899 = 448601
C.A. = 500 X 900 = 450000
450000 - 1399 = 448601
Exemplo 4:
399 X 899 = 358701
C.A. = 400 x 900 = 360000
360000 - 1299 = 358701
Exemplo 5:
499 x 699 = 348801
C.A. = 500 x 700 = 350000
350000 - 1199 = 348801
Exemplo 6:
599 x 799 = 478601
C.A. = 600 x 800 = 480000
480000 - 1399 = 478601
Exemplo 1:
101 x 909 = 91809
Obs: toda centena de 101 a 109 multiplicadas por qualquer centena que tenha um zero como dezena e termine com um número significativo; terá cinco algarismos como resultado.
Exemplo 2:
108 x 805 = 86940
Exemplo 3:
104 x 405 = 42120
Exemplo 4:
106 x 901 = 95506
Exemplo 5:
109 x 705 = 76845
Exemplo 6:
103 x 902 = 92906
Em: 101 x 909 = 91809 ; 106 x 901 = 95506 ; 103 x 902 = 92906. Nesses casos é necessário o abaixamento do zero. Porque os produtos à direita tem só um algarismo.
Trabalhando juntos dois operários demoram 3 dias para completar certo trabalho. Entretanto trabalhando sozinho, o primeiro demora dois dias e meio menos que o segundo. Determinar o tempo que leva cada operário para fazer o mesmo trabalho.
Temos um enunciado diferente, uma versão que não fala do número de horas trabalhadas. Nos tira da comodidade '' Se n então y ''.
Dados: 2 e 3. Ora: 2 x 3 = 6 e 2 x 2 = 4 .
O primeiro trabalha 6 horas/dia e o segundo 4 horas/dia . Em três dias trabalham, vem: 6h/dia x 3 = 18h e 4h/dia x 3 = 12h. Trabalhando juntos demoram 30 horas.
Sozinho, o 1° operário trabalha 5 dias = 30h
O 2° trabalha 7,5 dias = 30 horas.
Resposta: 30 horas.
Temos um enunciado diferente, uma versão que não fala do número de horas trabalhadas. Nos tira da comodidade '' Se n então y ''.
Dados: 2 e 3. Ora: 2 x 3 = 6 e 2 x 2 = 4 .
O primeiro trabalha 6 horas/dia e o segundo 4 horas/dia . Em três dias trabalham, vem: 6h/dia x 3 = 18h e 4h/dia x 3 = 12h. Trabalhando juntos demoram 30 horas.
Sozinho, o 1° operário trabalha 5 dias = 30h
O 2° trabalha 7,5 dias = 30 horas.
Resposta: 30 horas.